samedi 26 octobre 2013

La suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci tient son nom du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, qui a vécu à Pise au XIIème siècle (1175-1240). 

Il est connu pour avoir introduit et popularisé en Europe et en Occident la numérotation indo-arabe qui a remplacé pour les calculs la notation romaine peu pratique aux opérations arithmétiques.

Mais il est aussi connu pour avoir mis en évidence une suite mathématique qui porte désormais son nom. Dans la suite de Fibonacci, il n’est pas nécessaire de mémoriser chacun des termes ou nombres de la suite (qui est d’ailleurs infinie). 

Il suffit de se rappeler sa règle de construction : 
Chaque terme de la suite, à partir du rang 2, s'obtient en additionnant les deux précédents, les deux premiers termes étant 0 et 1. Le troisième terme est donc 1 (0 + 1 = 1), le quatrième terme 2 (1 + 1 = 2), le cinquième 3 (1 + 2 = 3), le sixième 5 (2 + 3 = 5), et ainsi de suite.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

Il suffit de prendre deux nombres de départ. Les ajouter donne le troisième, puis le deuxième + le troisième donne le quatrième et ainsi de suite. Les termes de cette suite sont appelés nombres de Fibonacci.

La suite de Fibonacci possède de nombreuses propriétés très utilisées en mathématiques. Une d’entre elles est que le rapport de deux nombres consécutifs de la suite est alternativement supérieur et inférieur au nombre d’or, un nombre remarquable qui vaut exactement 1.61803398


Dans la nature, on retrouve très souvent des motifs basé sur la suite Fibonacci et sur le nombre d’or. Il semblerait que la nature marque une prédilection pour la suite de Fibonacci et pour le nombre d’or.

les pommes de pins (pives)
les marguerites
les ananas
les tournesols
les cactus
les étoiles de mer
les coquilles de mollusques
les galaxies
les cyclones météorologiques

On remarque par exemple que le nombre de pétales des fleurs est souvent un des nombres de la suite de Fibonacci: 3, 5, 8, 13, 21, 34 ou 55. Par exemple, les lis ont 3 pétales, les boutons d’or en ont 5, les chicorées en ont 21, les marguerites ont souvent 34 ou 55 pétales, etc…

Dans certains objets de la nature, on observe aussi très souvent des spirales (spirales logarithmique) dans lesquelles intervient le nombre d’or. Cette spirale d’or s’inscrit dans un rectangle dont les proportions (rapport de la longueur sur la hauteur) correspondent au nombre d’or (on peut construire une spirale d’or en traçant des 1/4 de cercle dans chaque carré).

Pour expliquer pourquoi la nature semble si proche des mathématiques, il faut prendre en compte la question d’efficacité dans ces arrangements géométriques, par exemple pour favoriser le processus de croissance des plantes et l’optimisation du remplissage de l’espace. 

En finance dans l’analyse technique des marchés financiers, on utilise un outil appelé retracement de Fibonacci. Les retracements de Fibonacci correspondent généralement à des supports ou à des résistances naturelles sur lesquels les prix vont buter. On se base donc sur l’idée que l’on peut prédire les mouvements boursiers en fonction de ratios ou seuils qui font référence à la suite de Fibonacci. Les ratios sont obtenus en divisant un nombre de la suite de Fibonacci par le nombre suivant.

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